P72 問67 （マグロウヒル大学演習シリーズ 微積分(上)）を解く．

数列 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ の単調性と極限

問67

$$u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} n=1,2,3, \cdots $$ が単調減少数列であること、そしてその極限が $e$ であることを証明せよ．

1. 単調減少性の証明

数列 $u_n$ が単調減少であることを示すには、$u_{n+1} \le u_n$ が全ての $n \ge 1$ について成り立つことを証明すれば良いです。これは、比 $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$ を示すことと同義です。

まず、$u_n$ と $u_{n+1}$ の定義を書き出しましょう。 $$u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1}$$ $$u_{n+1} = \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+2} = \left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+2}$$

次に、$\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$ が示すべき不等式、すなわち $u_{n+1} \le u_n$ を直接見ていきましょう。 $$\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+2} \le \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$$

この不等式を変形してみます。 $$\frac{\left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^{n+2}}{\left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}} \le 1$$ $$ \left(1 + \frac{1}{n+1}\right) \left( \frac{1 + \frac{1}{n+1}}{1 + \frac{1}{n}} \right)^{n+1} \le 1 $$ ここで、分数部分を計算します。 $$ \frac{1 + \frac{1}{n+1}}{1 + \frac{1}{n}} = \frac{\frac{n+2}{n+1}}{\frac{n+1}{n}} = \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n}{n+1} = \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} = \frac{n^2+2n}{n^2+2n+1} $$ よって、示すべき不等式は以下のようになります。 $$ \left(\frac{n+2}{n+1}\right) \left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^{n+1} \le 1 $$

上記で得られた不等式をさらに変形し、以下の形を考えます。 $$ \frac{n+2}{n+1} \le \left(\frac{n^2+2n+1}{n^2+2n}\right)^{n+1} $$ $$ \frac{n+2}{n+1} \le \left(1 + \frac{1}{n^2+2n}\right)^{n+1} $$

ここで、次の一般的な不等式を利用します。 任意の正の数 $x \neq 0$ と実数 $r>1$ に対して、$(1+x)^r > 1+rx$ が成り立ちます。（これはベルヌーイの不等式です．） $X = \frac{1}{n^2+2n}$、$R = n+1$ と置くと、$x > 0$、$r > 1$ です。 したがって、 $$ \begin{align*} \left(1 + \frac{1}{n^2+2n}\right)^{n+1} &> 1 + (n+1) \cdot \frac{1}{n^2+2n} \\ &= 1 + \frac{n+1}{n(n+2)} \\ &= \frac{n(n+2) + (n+1)}{n(n+2)} \\ &= \frac{n^2+2n+n+1}{n^2+2n} \\ &= \frac{n^2+3n+1}{n^2+2n} \end{align*} $$

これで、示したい不等式は次のようになります。 $$ \frac{n+2}{n+1} \le \frac{n^2+3n+1}{n^2+2n} $$ この不等式が真であることを確認します。両辺に分母を掛けて整理します。（分母は全て正なので不等号の向きは変わりません。） $$ (n+2)(n^2+2n) \le (n+1)(n^2+3n+1) $$ 左辺を展開します。 $$ n^3 + 2n^2 + 2n^2 + 4n = n^3 + 4n^2 + 4n $$ 右辺を展開します。 $$ n^3 + 3n^2 + n + n^2 + 3n + 1 = n^3 + 4n^2 + 4n + 1 $$ したがって、元の不等式は次のようになります。 $$ n^3 + 4n^2 + 4n \le n^3 + 4n^2 + 4n + 1 $$ この不等式は、$0 \le 1$ となり、明らかに全ての $n \ge 1$ に対して真です。

よって、我々が目指していた $$ \left(\frac{n+2}{n+1}\right) \left(\frac{n^2+2n}{n^2+2n+1}\right)^{n+1} \le 1 $$ すなわち $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le 1$ が証明されました。これは $u_{n+1} \le u_n$ を意味し、数列 $u_n$ は単調減少であることを示しています。 （$n \ge 1$ においては常に厳密な不等号 $u_{n+1} < u_n$ が成り立ちます。）

2. 極限値の計算

次に、数列 $u_n$ の極限値を求めます。 $$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$$ この式は次のように変形できます。 $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^1 \right]$$

極限の性質を利用して、積の極限として分離します。 $$= \left( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \right) \cdot \left( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^1 \right)$$

ここで、自然対数の底 $e$ の定義から、$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e$ です。 また、2番目の極限は容易に計算できます。 $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^1 = (1 + 0) = 1$$

したがって、 $$\lim_{n \to \infty} u_n = e \cdot 1 = e$$

数列 $u_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ は単調減少であり、その極限値は $e$ であることが証明されました。