P71 問62 （マグロウヒル大学演習シリーズ 微積分(上)）を解く．

問62

　$\lim_{n \to \infty} |u_{n+1}/u_n| = |a| < 1$ ならば $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ であることを証明せよ．

証明の方針

　これは級数の収束判定で用いられるダランベールの収束判定法の証明の一部と同じ考え方を使います。

1. $\lim_{n \to \infty} |u_{n+1}/u_n| = |a| < 1$ という条件から、十分大きな $n$ に対して $|u_{n+1}/u_n|$ が1より小さい定数 $r$ で上から抑えられることを示します。
2. 具体的には、$|a| < r < 1$ となる $r$ を選びます。極限の定義から、ある番号 $N$ が存在し、$n \ge N$ ならば $|u_{n+1}/u_n| < r$ となることを利用します。
3. この不等式を繰り返し使うと、$|u_n|$ が公比 $r$ の等比数列 $C \cdot r^n$ で抑えられることがわかります。
4. $0 < r < 1$ なので $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ です。
5. はさみうちの原理を使って $\lim_{n \to \infty} |u_n| = 0$ を導き、そこから $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ を示します。

解答

　$\lim_{n \to \infty} |u_{n+1}/u_n| = |a|$ であり、仮定より $|a| < 1$ です。

　ここで、$|a| < r < 1$ を満たす実数 $r$ を1つ選びます。（例えば $r = (|a| + 1) / 2$ とすればよいです。）

　$\epsilon = r - |a|$ とおくと、$\epsilon > 0$ です。 数列の極限の定義から、この $\epsilon$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、$n \ge N$ を満たすすべての $n$ について、 $$| |u_{n+1}/u_n| - |a| | < \epsilon$$ が成り立ちます。この不等式は、 $$|u_{n+1}/u_n| - |a| < \epsilon \iff |u_{n+1}/u_n| < |a| + \epsilon = |a| + (r - |a|) = r$$ を意味します。つまり、$n \ge N$ のとき $|u_{n+1}/u_n| < r$ が成り立ちます。

　$n > N$ のとき、この関係を繰り返し用いると、 $$\begin{aligned} |u_n| &= \left| \frac{u_n}{u_{n-1}} \cdot \frac{u_{n-1}}{u_{n-2}} \cdot \dots \cdot \frac{u_{N+1}}{u_N} \cdot u_N \right| \\ &= \left|\frac{u_n}{u_{n-1}}\right| \cdot \left|\frac{u_{n-1}}{u_{n-2}}\right| \cdot \dots \cdot \left|\frac{u_{N+1}}{u_N}\right| \cdot |u_N| \\ &< r \cdot r \cdot \dots \cdot r \cdot |u_N| = r^{n-N} |u_N| \end{aligned}$$ となります。ここで $C = |u_N| / r^N$ とおくと、$C$ は正の定数であり、$|u_n| < C \cdot r^n$ と書けます。

　したがって、$n > N$ において $0 \le |u_n| < C \cdot r^n$ が成り立ちます。 $0 < r < 1$ なので $\lim_{n \to \infty} r^n = 0$ であり、よって $\lim_{n \to \infty} C \cdot r^n = 0$ です。

　はさみうちの原理より、$\lim_{n \to \infty} |u_n| = 0$ が得られます。 $-|u_n| \le u_n \le |u_n|$ であり、$\lim_{n \to \infty} |u_n| = 0$ かつ $\lim_{n \to \infty} -|u_n| = 0$ なので、再びはさみうちの原理より $\lim_{n \to \infty} u_n = 0$ となります。